Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）-3（1）求f（1）的

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）-3（1）求f（1）的值；（2）求证： f(x)+f( 1 x )=6(x＞0) ；（3）若x＞1时，f（x）＜3，判断f（x）在其定义域上的单调性，并证明．

Answer 1

（1）由已知已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因此令x=y=1得      f（1?1）=f（1）+f（1）-3，可得：      f（1）=3                        （2分）     （2）由已知以及（1）的结论可得 f(1)=f(x? 1 x ) = f(x)+f( 1 x )-3 =3      即有： f(x)+f( 1 x )=6(x＞0)       （7分）     （3）f（x）是（0，+∞）上的减函数（9分），证明如下：      设x 1 ，x 2 ∈（0，+∞）且x 1 ＜x 2 ， ∵ x 2 x 1 ＞1，∴f( x 2 x 1 )＜3，f( x 2 )+f( 1 x 1 )-3＜3 ，      f( x 2 )＜6-f( 1 x 1 )=f( x 1 ) ． ∴f（x）是（0，+∞）上的减函数．   （14分）