Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n（m、n是常数）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n（m、n是常数）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线的方程是y=x+2．（1）求已知抛物线的解析式；（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△A′B′C′，求点C′的坐标；（3）P是抛物线上的动点，当P在抛物线上从点B运动到点C，求P点纵坐标的取值范围．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（其中a≠0）的顶点坐标为（-b2a，4ac?b24a））

Answer 1

（1）依题意B（-2，0）、C（0，2），
∵B、C在抛物线y=-x²+mx+n上，
∴

?(?2)2?2m+n＝0 n＝2

，
解得

m＝?1 n＝2

，
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+2；

（2）∵抛物线y=-x²+mx+n（m、n是常数）与x轴交于A、B两点，
∴y=-x²-x+2=0，
解得：x=1或x=-2，
∴A的坐标为（1，0），
∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△A′B′C′，
∴C′（3，1）； 

（3）∵y=-x²-x+2=-（x+

1

2

）²+

9

4

，
∴此抛物线的顶点为：(?

1

2

 ， 

9

4

)，
∵B（-2，0）、C（0，2）且-2＜-

1

2

＜0，
∴知动点P运动过程经过抛物线的顶点，
又y_B=0，y_C=2，y_B＜y_C，
∴P点纵坐标的取值范围：0≤y_p≤

9

4

．