Question

已知数列{an}中，Sn是其前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1（1）设bn=an+1-2an（n=1，2，…）

已知数列{an}中，Sn是其前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1（1）设bn=an+1-2an（n=1，2，…），求证：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）数列{an}中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵S_n+1=S_n+a_n+1=4a_n-1+2+a_n+1，
∴4a_n+2=4a_n-1+2+a_n+1．
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
即b_n=2b_n-1，且b₁=a₂-2a₁=3，
∴{b_n}是公比q=2的等比数列．
（2）∵{b_n}是公比q=2的等比数列．
∴b_n=3?2^n-1，
即b_n=a_n+1-2a_n=3?2^n-1，
∴

an+1

2n+1

?

2an

2n+1

＝

3?2n?1

2n+1

，
即

an+1

2n+1

?

an

2n

＝

3

4

，
即{

an

2n

}是公差d=

3

4

，首项

a1

2

＝

1

2

的等差数列，
∴

an

2n

＝

1

2

+

3

4

(n?1)，
即an＝(3n?1)?2n?2，n≥1．
（3）∵an＝(3n?1)?2n?2，n≥1．
∴a1＝2?2?1＝1，a2＝5?20＝5，
当n＞2时，数列an＝(3n?1)?2n?2单调递增，
∴数列{a_n}存在最小项a₁=1，不存在最大项．