Question

设函数f（x）=x（ex-1）-ax2（e=2071828…是自然对数的底数）．（I）若a=12，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）

设函数f（x）=x（ex-1）-ax2（e=2071828…是自然对数的底数）．（I）若a=12，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N*，x＞0，求证：ex＞1+x1!+x22!+…+xnn!n!=n×（n-1）×…×2×1．

Answer 1

（Ⅰ）a=

1

2

时，f（x）=x（e^x-1）-

1

2

x²，
f′（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（（x+1）．
令f'（x）＞0，得x＜-1或x＞0，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（0，+∞）．
（Ⅱ）f（x）=x（e^x-1-ax）
令g（x）=e^x-1-ax，则g′（x）=e^x-a．
若a≤1，则当（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
而g（x）=0，从而当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥0．
若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
而g（x）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．
所以不合题意，舍去．
综合得a的取值范围为（-∞，1]．
（Ⅲ）用数学归纳法证明：
（1）n=1时，令h（x）=e^x-（1+x），x≥0，
显然h（0）=0，h′（x）=e^x-1＞0对x＞0成立，∴h（x）在[0，+∞）递增，
当x＞0时，有h（x）＞h（0）=0，即e^x＞1+x，
∴n=1时不等式成立，
（2）假设n=k时不等式成立，
即e^x＞1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xk

k!

，
当n=k+1时，令m（x）=e^x-（1+

x

1!

+…+

xk+1

(k+1)!

），
显然m（0）=0，由归纳假设m；′′（x）=e^x-（1+

x

1!

+…+

xk

k!

）＞0对x＞0成立，
∴m（x）在[0，+∞）递增，
当x＞0时，有m（x）＞m（0）=0，
即e^x＞1+

x

1!

+…+

xk+1

(k+1)!

当n=k+1时不等式成立，
综合（1）（2）得：
n∈N^*，x＞0，e^x＞1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

．