Question

设函数f(x)＝ex+x?a（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是

设函数f(x)＝ex+x?a（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）A．[1，e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[0，1]

Answer 1

解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b）
其中f^-1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
根据

ex+x?a

＝x，化简整理得e^x=x²-x+a
记F（x）=e^x，G（x）=x²-x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得

F(0)≤G(0) F(1)≥G(1)

，即

e0≤02?0+a e1≥12?1+a

，解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1，e]
故选：A