Question

已知：函数f（x）=12（sinx+|sinx|），x∈R（1）求函数f（x）的周期T，与单调增区间．（2）函数y=f（x）

已知：函数f（x）=12（sinx+|sinx|），x∈R（1）求函数f（x）的周期T，与单调增区间．（2）函数y=f（x）与y=lgx的图象有几个公共交点．（3）设关于x的函数g（x）=-2sin2x-2acosx-2a+1的最小值为h（a），试确定满足h（a）=12的a的值，并对此时的a值求g（x）的最小值．

Answer 1

（1）f（x）=

1

2

（sinx+|sinx|）
=

sinx，sinx≥0 0，sinx＜0

=

sinx，2kπ≤x≤2kπ+π 0，2kπ＜x＜2kπ+2π

，k∈Z，
∴函数f（x）的周期T=2π
函数f（x）的增区间：[2kπ，2kπ+

π

2

]；
（2）作函数y=f（x）与y=lgx的图象，从图象可以看出函数y=f（x）与y=lgx的图象有三个交点；

（3）g（x）=-2sin²x-2acosx-2a+1=2cos²x-2acosx-（2a+1），
令cosx=t，可得t∈[-1，1]，
换元可得y=2t²-2at-（2a+1），可看作关于t的二次函数，
图象为开口向上的抛物线，对称轴为t＝

a

2

，
当

a

2

＜?1，即a＜-2时，[-1，1]是函数g（x）的递增区间，gmin＝1≠

1

2

；
当

a

2

＞1，即a＞2时，[-1，1]是函数y的递减区间，gmin＝?4a+1＝

1

2

，得a＝

1

8

，与a＞2矛盾；
当?1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，gmin＝?

a2

2

?2a?1＝

1

2

，变形可得a²+4a+3=0，
解得a=-1或a=-3（舍去）
综上可得满足h（a）=

1

2

的a的值为-1，
此时g（x）的最小值为

1

2