Question

已知函数f(x)＝lnx+ax?a(a∈R)（I）求f（x）的单调区间；（II）求证：不等式1lnx?1x?1＜12对一切x∈(1，2

已知函数f(x)＝lnx+ax?a(a∈R)（I）求f（x）的单调区间；（II）求证：不等式1lnx?1x?1＜12对一切x∈(1，2)恒成立．

Answer 1

解答：（I）解：求导函数，可得f′(x)＝

1

x

?

a

x2

＝

x?a

x2

（x＞0）
若a≤0，则f′（x）＞0，函数为增函数，函数的单调增区间为（0，+∞）
若a＞0，令f′（x）＞0，可得x＞a，令f′（x）＜0，可得0＜x＜a，
∴f（x）的单调增区间为（a，+∞），单调减区间为（0，a）；
（II）证明：设f(x)＝

1

lnx

?

1

x?1

?

1

2

，求导函数，可得f'（x）=?

1

xln2x

+

1

(x?1)2

=

(x?1)2?xln2x

x(x?1)2ln2x

令g（x）=（x-1）²-x（lnx）²，g'（x）=2（x-1）-（lnx）²-2lnx，g“（x）=

2(x?lnx?1)

x

，
设h（x）=x-lnx-1，x∈（1，2），h'（x）=1-

1

x

＞0，
∴h（x）在（1，2）上单调增，∴h（x）＞h（1）=0，
∴g“（x）＞0，g'（x）在（1，2）上单调增，∴g'（x）＞g'（1）=0，
∴g（x）在（1，2）上单调增，∴g（x）＞g（1）=0，
∴f'（x）＜0，∴f（x）在（1，2）上单调减，f（x）＜f（2）＜0，
∴

1

lnx

?

1

x?1

?

1

2

＜0
∴

1

lnx

?

1

x?1

＜

1

2

．