Question

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ABC的角平分线BE交CD于G，交AC于E，GF∥AB交AC于F．求证：

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ABC的角平分线BE交CD于G，交AC于E，GF∥AB交AC于F．求证：AF=CG．

Answer 1

证明：分别过G、F作GH⊥BC，FI⊥AB，垂足分别为H、I，
∵CD⊥AB于D，GF∥AB，
∴四边形DGFI为矩形，
∴FI=GD，
∵BE平分∠ABC，
∴GD=GH，
∴FI=GH，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCH+∠ACD=90°，
且∠A+∠ACD=90°，
∴∠FAI=∠GCH，
在△AFI和△CGH中，

∠FAI＝∠GCH ∠AIF＝∠GHC＝90° FI＝GH

，
∴△AFI≌△CGH（AAS），
∴AF=CG．