Question

（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=

（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC= AB；（3）点M是弧AB 的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

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Answer 1

（1）PC是⊙O的切线，证明略。 （2）BC= AB，证明略。 （3）MC·MN=BM 2 =8

（本题满分10分） 解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO     ∵∠COB=2∠ A ,∠COB=2∠PCB             ∴∠A=∠ACO=∠PCB     ……………………………… ……………………1分 ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACO+∠OCB=90°       …………………………………………………2分 ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP    …………………………………………3分 ∵OC是⊙O的半径                     ∴PC是⊙O的切线         …………………………………………………4分     （2）∵PC="AC " ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P    ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB                ……………………………………………5分 ∴BC=OC ∴BC= AB            ………………………………………………………6分         (3)连接MA,MB                          ∵点M是弧AB的中点 ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM   ………7分     ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM         ∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN∽△MCB                   ∴    ∴BM 2 =MC·MN       ……………………8分 ∵AB是⊙O的直径 ，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM ∵AB="4 " ∴BM=    ………………………………………………………9分 ∴MC·MN=BM 2 ="8        " ……………………………………………………10分