Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．

如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F． （1）如图1，求证：AE=DF；（2）如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是等腰直角三角形（3）如图3，若AB= ，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．①直接写出线段AE长度的取值范围；②判断△GEF的形状，并说明理由．

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Answer 1

（1）由△AEM≌△DFM可证得（2）关键是证GE=GF，再证有个角是直角。 （3）① ＜AE≤ ． ②△GEF是等边三角形

试题分析：解：（1）证明：如图1,在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD． ∵M是AD的中点，∴AM=DM， ∴△AEM≌△DFM（ASA）． ∴AE=DF．           2分 （2）证明：如图2，过点G作GH⊥AD于H， ∴∠A=∠B=∠AHG=90°， ∴四边ABGH为矩形， ∴∠AME+∠AEM=90°， ∵MG⊥EF， ∴∠GME=90°． ∴∠AME+∠GMH=90° ∴∠AEM=∠GMH． ∵AD=4，M是AD的中点 ∴AM=2 ∵四边ABGH为矩形， ∴AB=HG=2 ∴AM=HG ∴△AEM≌△HMG（AAS）． ∴ME=MG． ∴∠EGM=45°． 由（1）得△AEM≌△DFM， ∴ME=MF． ∵MG⊥EF， ∴GE=GF． ∴∠EGF=2∠EGM=90°． ∴△GEF是等腰直角三角形．           5分 （3 ）①当C、G重合时，如图4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ADC=90°， ∴∠AME+∠AEM=90°． ∵MG⊥EF， ∴∠EMG=90°． ∴∠AME+∠DMC=90°， ∴∠AEM=∠DMC， ∴△AEM∽△DMC ∴ ， ∴ ， ∴AE= 当E、B重合时，AE最长为 ， ∴ ＜AE≤ ．        7分（注：此小问只需直接写出结果即可） ②如图3，△GEF是等边三角形． 证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H， ∵∠A=∠B=∠AHG=90°， ∴四边形ABGH是矩形． ∴GH=AB=2 ． ∵MG⊥EF， ∴∠GME=90°． ∴∠AME+∠GMH=90°． ∵∠AME+∠AEM=90°， ∴∠AEM=∠GMH． 又∵∠A=∠GHM=90°， ∴△AEM∽△HMG． ∴ ． 在Rt△GME中， ∴tan∠MEG= = ． ∴∠MEG=60°． 　由（1）得△AEM≌△DFM． ∴ME=MF． ∵MG⊥EF，  ∴GE=GF． ∴△GEF是等边三角形．           9分 点评：此题比较综合，四边形的相关性质和定理一般都由三角形性质和定理得来，故在解四边形时，通常会结合三角形的性质与定理帮助解题，难度适中。