Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA= 1 3 （1）求sin 2 B+C 2 +

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA= 1 3 （1）求sin 2 B+C 2 +cos2A的值；（2）若a= 5 ，求bc的最大值．

Answer 1

（1）∵sin 2 B+C 2 = 1 2 [1-cos（B+C）]= 1 2 （1+cosA） ∴sin 2 B+C 2 +cos2A= 1 2 （1+cosA）+（2cos 2 A-1）= 1 2 （1+ 1 3 ）+（ 2 9 -1）=- 1 9 ； （2）∵a= 5 ，∴由余弦定理，得a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA=5 即b 2 +c 2 = 2 3 bc+5 ∵b 2 +c 2 ≥2bc， ∴ 2 3 bc+5≥2bc，解得bc≤ 15 4 ，当且仅当b=c时取等号． 因此，当且仅当b=c= 15 2 时，bc的最大值为 15 4 ．