Question

如图，已知AB圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是

如图，已知AB圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．

Answer 1

（I）∵CF=FG ∴∠CGF=∠FCG ∴AB圆O的直径 ∴ ∠ACB=∠ADB= π 2 ∵CE⊥AB ∴ ∠CEA= π 2 ∵ ∠CBA= π 2 -∠CAB，∠ACE= π 2 -∠CAB ∴∠CBA=∠ACE ∵∠CGF=∠DGA ∴ ∠DGA=∠ABC∴ π 2 -∠DGA= π 2 -∠ABC ∴∠CAB=∠DAC ∴C为劣弧BD的中点（5分） （II）∵ ∠GBC= π 2 -∠CGB，∠FCB= π 2 -∠GCF ∴∠GBC=∠FCB ∴CF=FB 同理可证：CF=GF ∴BF=FG（10分）