Question

已知椭圆的两个焦点分别是 ，离心率 ．（1）求椭圆的方程；（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于

已知椭圆的两个焦点分别是 ，离心率 ．（1）求椭圆的方程；（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN中点的横坐标为 ，求直线l的倾斜角的范围．

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Answer 1

解：（1）依题意可知 求得a=3，b=1 ∴椭圆的方程为： =1 （2）直线l不与坐标轴平行， 设为y=kx+b（k≠0），M（ ， ），N（x 2 ，y 2 ） 联立方程： 则（9+k 2 ）x 2 +2kbx+b 2 ﹣9=0 △=（2kb） 2 ﹣4（9+k 2 ）（b 2 ﹣9）＞0，k 2 ﹣b 2 +9＞0 +x 2 =﹣ ， x 2 = MN的中点的横坐标= （ +x 2 ）=﹣ 所以 +x 2 =﹣1 所以9+k 2 =2kb＞b 2 （k﹣b） 2 =b 2 ﹣9≥0，b 2 ≥9 b≥3或b≤﹣3 b（b﹣2k）＜0 所以b≥3＞0时，b﹣2k＜0，k＞ ≥ b≤﹣3＜0时，b﹣2k＞0，k＜ ≤﹣ 所以k的取值范围为（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞） 直线l的倾斜角的取值范围为：（arctan ， ）∪（ ， ﹣arctan ）