Question

已知函数f（x）=x2+lnx-ax．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若f（x）在（0，1）上是增函数

已知函数f（x）=x2+lnx-ax．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若f（x）在（0，1）上是增函数，求a得取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设g（x）=x2+|x-a|，（1≤x≤3），求函数g（x）的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）当a=3时，f（x）=x²+lnx-3x；
∴f′(x)＝2x+

1

x

?3
由f′（x）＞0得，0＜x＜

1

2

或x＞1；
故所求f（x）的单调增区间为(0，

1

2

)、(1，+∞)
（Ⅱ）f′(x)＝2x+

1

x

?a．
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴2x+

1

x

?a＞0在（0，1）上恒成立，即a＜2x+

1

x

恒成立．
∵2x+

1

x

≥2

2

（当且仅当x＝

2

2

时取等号）．
所以a＜2

2

．
当a＝2

2

时，易知f（x）在（0，1）上也是增函数，
所以a≤2

2

．　
（Ⅲ）由（Ⅱ）知a≤2

2

当a≤1时，g（x）=x²+x-a在区间[1，3]上是增函数
所以g（x）的最小值