Question

如图，AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点．求证：（1）DE∥AB； （2）DE=12（AB+AC）

如图，AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点．求证：（1）DE∥AB； （2）DE=12（AB+AC）．

Answer 1

证明：（1）如图，延长CD交BA的延长线于F，
∵AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD，
∴∠CAD=∠FAD，∠ADC=∠ADF=90°，
在△ACD和△AFD中，

∠CAD＝∠FAD AD＝AD ∠ADC＝∠ADF＝90°

，
∴△ACD≌△AFD（ASA），
∴CD=DF，
∵E是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥AB；

（2）∵△ACD≌△AFD，
∴AC=AF，
∴AB+AC=BF，
∵DE是△BCF的中位线，
∴DE=

1

2

BF=

1

2

（AB+AC）．