Question

设ξ1，ξ2，ξ3是Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表成（　　）A．ξ1，ξ2，ξ3的一个等阶

设ξ1，ξ2，ξ3是Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表成（　　）A．ξ1，ξ2，ξ3的一个等阶向量组B．ξ1，ξ2，ξ3的一个等秩向量组C．ξ1，ξ1+ξ2，ξ1+ξ2+ξ3D．ξ1-ξ2，ξ2-ξ3，ξ3-ξ1

Answer 1

A，B：
齐次线性方程组的基础解系是线性无关的向量组，所以选项A，B都是错误的说法．
C：
首先ξ₁，ξ₁+ξ₂，ξ₁+ξ₂+ξ₃它们都是方程的解
由 k₁ξ₁+k₂（ξ₁+ξ₂）+k₃（ξ₁+ξ₂+ξ₃）=0，得（k₁+k₂+k₃）ξ₁+（k₂+k₃）ξ₂+ξ₃k₃=0．
因为ξ₁，ξ₂，ξ₃是Ax=0的基础解系，所以ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关．
于是

k1+k2+k3＝0 k2+k3＝0 k3＝0

，
所以：k₁=k₂=k₃=0，则ξ₁，ξ₁+ξ₂，ξ₁+ξ₂+ξ₃线性无关．
它也可以是方程组的基础解系．（C）正确．
D：
同样，它们也都是方程的解，但它们不是线性无关的：（ξ₁-ξ₂）+（ξ₂-ξ₃）=-（ξ₃-ξ₁）
所以它们不能构成基础解系，D错误
故应选：C．