Question

已知函数f(x)＝lnx+1x?1（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）对于x∈[2，6]，f(x

已知函数f(x)＝lnx+1x?1（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）对于x∈[2，6]，f(x)＝lnx+1x?1＞lnm(x?1)(7?x)恒成立，求实数m取值范围．

Answer 1

（1）由

x+1

x?1

＞0，解得x＜-1或x＞1，∴定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）（2分）
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f(?x)＝ln

?x+1

?x?1

＝ln

x?1

x+1

＝ln(

x+1

x?1

)?1＝?ln

x+1

x?1

＝?f(x)
∴f(x)＝ln

x+1

x?1

是奇函数．                                        …．（5分）
（2）由x∈[2，6]时，f(x)＝ln

x+1

x?1

＞ln

m

(x?1)(7?x)

恒成立，
∴

x+1

x?1

＞

m

(x?1)(7?x)

＞0，
∵x∈[2，6]，∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立…（8分）
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，x∈[2，6]，
由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减，
∴x∈[2，6]时，g（x）_min=g（6）=7
∴0＜m＜7…．（12分）