Question

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（1）求函数f（x）的单调区间和最大值；（2）若f（x）≤0恒成立，求

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（1）求函数f（x）的单调区间和最大值；（2）若f（x）≤0恒成立，求k的取值范围；（3）证明：①ln（x-1）＜x-2在（2，+∞）上恒成立；②ni＝2（lnii+1）＜n(n?1)4（n∈N，n＞1）

Answer 1

（1）f′（x）=

1

x?1

-k （x＞1）
   当k≤0时，f（′x）＞0，f（x）在（1，+∞）单调递增
   即f（x）的增区间为（1，+∞）  无减区间
   当k＞0时，令f'（x）=0得x=1+

1

k

  x，f′（x），f（x）变换情况如下：
  当  x∈（1，1+

1

k

），f′（x）＞0；     
当x∈（1+

1

k

，+∞），f′（x）＜0  
  所以f（x）的增区间为（1，1+

1

k

） 减区间为（1+

1

k

，+∞）
（2）当k≤0时，在[2，+∞）上有f（x）＞0，不满足题意
     当k＞0时，由（1）知，f（x）有极大值也是最大值f（1+

1

k

）=ln（

1

k

）
∵f（x）≤0恒成立
∴只需f（x）的最大值ln（

1

k

）≤0 解得k≥1
    综上，k∈[1，+∞）
（3）取k=1，由（2）知f（x）=ln（x-1）-x+2≤0恒成立
   即ln（x-1）≤x-2 
所以

ln(x?1)

x

≤

x?2

x

   令x=n+1，则

lnn

n+1

＜

n?1

n+1

＜

n?1

2

  
∴

ln2

3

+

ln3

4

+…+

lnn

n+1

＜

1

2

+

2

2

+

3

2

+…+

n?1

2

=

n(n?1)

4

即

n

i＝2

(

lni

i+1

)＜

n(n?1)

4