Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=2ax+1x2（a∈R）．（1）当x

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=2ax+1x2（a∈R）．（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；（2）若a＞-1，试判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；（3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f（x）有最大值-6．

Answer 1

解答：（1）解：设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），f（-x）=-2ax+

1

x2

，
∵f（x）是奇函数．∴f（x）=2ax-

1

x2

，x∈（0，1]．

（2）证明：∵f′（x）=2a+

2

x3

＝2(a+

1

x3

)，
∵a＞-1，x∈（0，1]，

1

x3

≥1，
∴a+

1

x3

＞0．即f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，1]上是单调递增函数．

（3）解：当a＞-1时，f（x）在（0，1]上单调递增．
f（x）_max=f（1）=-6，?a=-

5

2

（不合题意，舍之），
当a≤-1时，f′（x）=0，x=

3	? 1 a

．
如下表：f_max（x）=f（

3	? 1 a

）=-6，解出a=-2

2

． x=

2

2

∈（0，1）．

∴存在a=-2

2

，使f（x）在（0，1）上有最大值-6．

Answer 2

(1)解：x∈(0,1]，则-x∈[-1,0)，故
f(-x)=2a(-x)+1/(-x)²=-2ax+1/x²，又因为f(x)是奇函数，故
f(x)=-f(-x)=2ax-1/x²
(2)解：当a＞0时，在(0,1]上2ax单调递增，-1/x²也单调递增，故f(x)在此区间内单调递增。
证：在(0,1]上，f`(x)=2a+2/x³＞2a，又因为a＞0，故f`(x)＞0，
所以函数f(x)在(0,1]上单调递增。