Question

在如图所示的xOy坐标系的第一象限的三角形区域AOB内有垂直于纸面向外的云强磁场，将一质量为m、带电荷量

在如图所示的xOy坐标系的第一象限的三角形区域AOB内有垂直于纸面向外的云强磁场，将一质量为m、带电荷量为+q的粒子（重力不计）从坐标原点0以垂直于AB的初速度v0射入磁场．已知A的坐标为（0，3a），B的坐标为（3a，0）．（1）欲使粒子能够再次经过x轴上的OB段，求磁场的磁感应强度B的最小值，及磁感应强度B取最小值时粒子在磁场中运动的轨迹方程．（2）在第（1）问中的磁感应强度B的情况下，在第四象限另有一矩形磁场，使粒子经过x轴后立即进入该磁场，然后粒子恰好从B点离开此矩形磁场再次返回到第一象限．求该磁场的最小面积（取3=1.732）．

Answer 1

解答：解：（1）粒子进入磁场后的轨迹圆与磁场边界相切时，磁感应强度最小，如图甲
所示，设此时粒子的轨道半径为R，有：
R=

3

acos30°=

3

2

a 　
由qvB=m

v2

R

得B_min=

mv0

qR

=

2mv0

3qa

 　 
如图甲所示，根据几何关系，可知O′的坐标为：
x=Rcos30°=

3 3

4

a，y=-Rsin30°=-

3

4

a　
粒子在磁场中运动的轨迹方程为：
（x-

3 3

4

a）²+（y+

3

4

a）²=

9

4

a²（0≤x≤

3 3

2

a，y≥0）．　
（2）如图乙所示，粒子进入第四象限矩形磁场区域的速度方向与+x方向成60°角斜向下，
根据几何关系，有OC=

3

R=

3 3

2

a，CB=3a-

3 3

2

a　
粒子在第四象限的磁场区域运动的半径r=

CB

2

?

1

cos30°

=

3

a-

3

2

a
矩形磁场的宽d=

1

2

r　
矩形磁场的最小面积S=CB?d=4.65×10^-2 a²．　
答：（1）欲使粒子能够再次经过x轴上的OB段，磁场的磁感应强度B的最小值为

2mv0

3qa

，磁感应强度B取最小值时粒子在磁场中运动的轨迹方程为（x-

3 3

4

a）²+（y+

3

4

a）²=

9

4

a²（0≤x≤

3 3

2

a，y≥0）．
（2）在第（1）问中的磁感应强度B的情况下，在第四象限另有一矩形磁场，使粒子经过x轴后立即进入该磁场，然后粒子恰好从B点离开此矩形磁场再次返回到第一象限．该磁场的最小面积（取

3

=1.732）为4.65×10^-2 a²．