Question

如图，已知抛物线y=ax 2 -2ax-b（a＞0）与x轴的一个交点为B（-1，0），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D。

如图，已知抛物线y=ax 2 -2ax-b（a＞0）与x轴的一个交点为B（-1，0），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D。 （1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；（2）以AD为直径的圆经过点C。①求抛物线的解析式；②点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标。

Answer 1

解：（1）对称轴是直线： 点A的坐标是（3，0）。
（2）①如图，连接AC、AD，过D作 于点M ∵点A、D、C的坐标分别是A （3，0），D（1，-a-b），C（0，-b） ∴AO=3，MD=1 由 得 ∴ 又∵ ∴由 得 ∴函数解析式为： 。
②如图所示，当BAFE为平行四边形时 则 ，并且 ∵ ∴ 由于对称为 ∴点F的横坐标为5 将 代入 得 ∴F（5，12） 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F，使得四边形BAEF是平行四边形，此时点F坐标为（-3，12） 当四边形BEAF是平行四边形时，点F即为点D，此时点F的坐标为（1，-4） 综上所述，点F的坐标为（5，12），（-3，12）或（1，-4）。