Question

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连结AE、EF。 （1）求

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连结AE、EF。 （1）求证：AF是∠BAC的平分线； 　　（2）试确定是否存在∠ABD的一个取值，使AB与EF平行？若存在，指出其取值并说明理由。

Answer 1

解：（1）证明：连接BE； ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90° ∵CD且圆于E， ∴∠AEC=∠ABE， 又AC⊥CD ∴∠CAE=∠BAE 即AE是∠BAC的平分线。 （2）当∠ABD=60°时，AB∥EF ∵ ∠FDE=∠AEB=90°，且∠BED=∠BAE ∴∠ABE=∠EBF 又∵∠FED=∠EBF ∴ ∠FED= 若∠ABD=∠EFD，则AB∥EF 即∠FED= 时，且∠FED+∠EFD=90° ∴ 解得∠EFD=∠ABD=60°。