Question

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，A

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图， 由AB是圆的直径，得AC⊥BC． 由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC． 又PA∩AC=A，PA?平面APC，AC?平面PAC， 所以BC⊥平面PAC． 因为BC?平面PBC， 所以平面PAC⊥平面PBC； （Ⅱ）过C作CM⊥AB于M， 因为PA⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以PA⊥CM， 故CM⊥平面PAB． 过M作MN⊥PB于N，链接NC． 由三垂线定理得CN⊥PB． 所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角． 在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得 BC= 3 ， CM= 3 2 ， BM= 3 2 ． 在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得 PB= 5 ． 因为Rt△BNM ∽ Rt△BAP，所以 MN 1 = 3 2 5 ． 故MN= 3 5 10 ． 又在Rt△CNM中， CN= 30 5 ．故cos ∠CNM= 6 4 ． 所以二面角C-PB-A的余弦值为 6 4 ．