Question

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx-a 2 -7a在x=1处取得极大值10，则 a b 的值为（　　） A． -

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx-a 2 -7a在x=1处取得极大值10，则 a b 的值为（　　） A． - 2 3 B．-2 C．-2或 - 2 3 D．不存在

Answer 1

∵f（x）=x 3 +ax 2 +bx-a 2 -7a， ∴f′（x）=3x 2 +2ax+b， 又f（x）=x 3 +ax 2 +bx-a 2 -7a在x=1处取得极大值10， ∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a 2 -7a=10， ∴a 2 +8a+12=0， ∴a=-2，b=1或a=-6，b=9． 当a=-2，b=1时，f′（x）=3x 2 -4x+1=（3x-1）（x-1）， 当 1 3 ＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0， ∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符； 当a=-6，b=9时，f′（x）=3x 2 -12x+9=3（x-1）（x-3） 当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0， ∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意； ∴ a b =- 6 9 =- 2 3 ． 故选A．