Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上的一点，E在线段BD上，且∠AED=45°，连接CE，过A作AG⊥CE

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上的一点，E在线段BD上，且∠AED=45°，连接CE，过A作AG⊥CE交BD于F，过A作AH⊥BD于H，探究FH与BE的数量关系，并证明．

Answer 1

答：FH与BE的数量关系为：BE=2FH，
证明：延长AH交CE于P，
∵∠ABF+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，
∴∠ABF=∠PAC，
∵AG⊥CE，AH⊥BD，∠EFG=∠AFH，
∴∠FEG=∠FAH，
∵∠FAH+∠AFH=90°，∠FEG+∠EPH=90°，
∴∠AFH=∠EPH，
∴∠AFB=∠APC，
在△ABF与△APC中，

∠ABF＝∠PAC AB＝AC ∠AFB＝∠APC

，
∴△ABF≌△APC（ASA），
∴BF=AP，
∵AH⊥BD，∠AED=45°，
∴AH=EH，
在△AHF与△EHP中，

∠AFH＝∠EPH ∠AHF＝∠EHP＝90° AH＝EH

，
∴△AHF≌△EHP（AAS），
∴FH=PH，
∴BE+EH-FH=AH+HP，
∴BE=2FH．