（2012?安溪县质检）如图，BC为半圆O的直径，D为AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E．（1）求
（2012?安溪县质检）如图，BC为半圆O的直径，D为AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）若AB=3，BC=5，...
（2012?安溪县质检）如图，BC为半圆O的直径，D为AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）若AB=3，BC=5，cos∠ABE=255，求ED的长．
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（1）∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵
=
，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；
（2）∵∠ABD=∠CBD，
∴cos∠ABE=cos∠CBD=
，
∵∠BAC=∠BDC=90°，
∴cos∠ABE=
=
=
，
解得：BE=
，
cos∠CBD=
=
=
，
解得：BD=2
，
故ED的长为：BD-BE=2
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵
 |
| AD |
 |
| DC |
∴∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；
（2）∵∠ABD=∠CBD，
∴cos∠ABE=cos∠CBD=
| 2 |
| 5 |
| 5 |
∵∠BAC=∠BDC=90°，
∴cos∠ABE=
| AB |
| BE |
| 3 |
| BE |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
解得：BE=
3
| ||
| 2 |
cos∠CBD=
| BD |
| BC |
| BD |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
解得：BD=2
| 5 |
故ED的长为：BD-BE=2
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