Question

在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过A作AD⊥BP于D，交直线BC于Q．（1）如图1，当P在线段A

在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过A作AD⊥BP于D，交直线BC于Q．（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ．（2）当P在线段AC的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ．（3）如图3，当P在线段AC的延长线上时，∠DBA=______时，AQ=2BD．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中

∠QCA＝∠PCB CA＝CB ∠CAQ＝∠CBP

，
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ；

（2）解：如图2所示：
∵∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，
∴∠CAQ=∠DBQ，
在△AQC和△BPC中

∠ACQ＝∠BCP CA＝CB ∠CAQ＝∠CBP

，
∴△AQC≌△BPC（ASA），
∴QC=CP，
∵∠QCD=90°，
∴∠CQP=∠CPQ=45°；

（3）解：当∠DBA=∠P时，AQ=2BD；
∵∠DBA=∠P，
∴AP=AB，
∵AD⊥BP，
∴AD=DP，
∵∠ACQ=∠ADP=90°，∠PAD=∠QAC，
∴∠P=∠Q，
在△ACQ和△BCP中

∠QCA＝∠PCB CA＝CB ∠Q＝∠P

，
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ，
∴此时AQ=BP=2BD．
故答案为：∠P．