Question

已知数列{an}的前n项和Sn ＝32(an ?1)，n∈N+．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{anbn

已知数列{an}的前n项和Sn ＝32(an ?1)，n∈N+．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{anbn}的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）因为Sn ＝

3

2

(an ?1)，n∈N+，所以Sn+1  ＝

3

2

(an+1  ?1)．
两式相减，得Sn+1 ?Sn ＝

3

2

(an+1 ?an )；，即an+1 ＝

3

2

(an+1 ?an )
∴a_n+1=3a_n，n∈N₊．
又纯举s1 ＝

2

3

(a1 ?1)；，即a1 ＝

3

2

(a1 ?1)；，所以a₁=3．
∴{a_n}是首项为3，公比为做森碧3的等比数列．从而{a_n}的通项公式是{a_n=3ⁿ，n∈N₊；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=log₃a_n=n，设数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，
则T_n=1×3+2×3²+3×3³++n?3ⁿ，3T_n
=1×3²+2×3³+3×3⁴++（n-1）?3ⁿ+n?3ⁿ⁺¹，
两式相减得春乎-2T_n=1×3+1×3²+1×3³++1×3ⁿ-n?3ⁿ⁺¹
=

3

2

(3n?1)?n?3n+1，
所以Tn＝

2n?1

4

?3n+1+

3

4

．