Question

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，M为AA1中点，求：（1）求证：平面C1MB⊥平面B1C1MB；（2）平面

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，M为AA1中点，求：（1）求证：平面C1MB⊥平面B1C1MB；（2）平面C1MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．

Answer 1

解：（1）证明：取BC₁的中点F，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，M为AA₁中点，
MB=MC₁，∴MF⊥BC1，MF⊥BB₁，BB₁∩BC₁=B，
∴MF⊥平面B₁C₁CB，MF?平面MBC₁，
∴平面C₁MB⊥平面B₁C₁MB．
（2）连接DB，C₁B，
则DB就是平面C₁MB与平面ABC的交线在△DCB中，
∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°，
∴CB⊥DB，
又C₁C⊥平面CBD，
由三垂线定理得C₁B⊥DB，∴∠C₁BC就是平面C₁MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），
∵侧面C₁B₁BC是正方形，∴∠C₁BC=45°，
故平面C₁MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°．