Question

若n^2Un的极限=A存在,证明级数Un收敛

Answer 1

既然提到了极限，自然想到用比较判别法的极限形式定理，然而这个定理前提正项级数，而这里根本没有提及，所以我们要先做点准备工作：

1、若limf(x)极限存在等于A，则lim|f(x)|极限存在且等于|A|,反之不成立。

      这可以用极限的定义证明，此处省略，只需记得结论。

2、一个图，说明比较审敛法定理：

3、若级数|Un|收敛，则级数Un绝对收敛，这个就是绝对收敛的定义，不用解释。

然后，可以开始解题了：

4、lim |n^2*Un|=lim |Un|/1/n^2=|A|    (运用1)

5、对于p级数1/n^2,容易知道其绝对收敛。

6、|A|>=0时,下面收敛，上面必然收敛（运用2的(1)、(2)综合）

7、所以|Un|收敛，所以Un绝对收敛。（运用3）

Answer 2

这个求和函数叫调和级数，高等数学下册有讲解

答案In2

过程：可知数列{an}是一个这样的数列:
a1=1/2
a2=(1/3)+(1/4)
a3=(1/4)+(1/5)+(1/6)
a4=(1/5)+(1/6)+(1/7)+(1/8)
........................
an=[1/(n+1)]+[1/(n+2)]+...+[1/2n]
可以求出n→∞lim(an)=ln2,但不能求出an=f(n)的简单函数表达式.

追问

不太懂，Un应该是任意的一个数列呀，怎么知道的？

Answer 3

答案In2
过程：可知数列{an}是一个这样的数列:
a1=1/2
a2=(1/3)+(1/4)
a3=(1/4)+(1/5)+(1/6)
a4=(1/5)+(1/6)+(1/7)+(1/8)
........................
an=[1/(n+1)]+[1/(n+2)]+...+[1/2n]
可以求出n→∞lim(an)=ln2,但不能求出an=f(n)的简单函数表达式.

Answer 4

（n^2Un）/n^4=Un/n^2的极限为0
所有根据p级数判断方法知级数Un收敛