Question

如图,四边形ABDC中,角D=角ABD=90度,点O为BD的中点,且OA平分角BAC

在线等

Answer 1

证明：

延长AO交CD的延长线于E。

∵∠D=∠ABD=90°

∴∠EDO=∠ABO=90°

∵O是BD的中点

∴OB=OD

又∵∠BOB=∠DOE

∴△AOB≌△EOD（ASA）

∴AB=DE，OA=OE，∠BAO=∠E

∵OA平分∠BAC

∴∠BAO=∠CAO

∴∠E=∠CAO

∴CE=CA

∵OA=OE

∴OC平分∠ACD（三线合一）

∵CE=DE+CD=AB+CD

∴AB+CD=AC

Answer 2

作辅助线经O点做AB的平行线交AC于E点，因有∠D=∠ABD=90°则有AB∥CD∥EO，∠CEO=∠CAB，又因为O为BD的中点，则有E为AC的中点，则EC=EA
因为∠B=90°，则∠OAB+∠AOB=90°，
因为∠CAO=∠OAB，则∠CAO+∠AOB=90°
又因为∠EOB=90°，则∠EOA=∠CAO，则EA=EO，又因为EC=EA，则EO=EC
所以∠ECO=∠EOC
因CD∥EO，∠DCO=∠EOC，所以∠ECO=∠DCO，
所以OC平分∠ACD
2.
作辅助线，过O点作垂直于AC的直线并交AC于F点。
根据角角边(∠AFO=∠ABO=90°，∠FAO=∠BAO，AO=AO)推出△ABO
≌
△AFO
同理可推出△FOC
≌
△DOC
因CD∥EO，∠ACD=∠AEO=180°-∠CEO=180°-∠CAB=(90°-∠BAO)+(90°-∠CAO)=∠AOB+(90°-∠AOE)=∠AOB+∠AOB=∠AEO