Question

有关指数函数的运算

已知函数f(x)=(1/2^x-1+1/2)x^3
1:求函数f(x)的定义域
2:判断其奇偶性
3：证明f(x)＞0

Answer 1

分母不等于0
2^x-1不等于0
x不等于0

1/(2^-x-1)+1/2上下乘2^x
=2^x/(1-2^x)+1/2
=(2^x-1+1)/(1-2^x)+1/2
=-1+1/(1-2^x)+1/2
=1/(1-2^x)-1/2
所以f(-x)=-x^3*[1/(1-2^x)-1/2]
=x^3[1/(2^x-1)+1/2]=f(x)
定义域x不等于0，关于原点对称
所以是偶函数

x>0,2^x-1>1,0<1/(2^x-1)<1
所以
1/(2^x-1)+1/2>0
x^3>0
所以f(x)>0
则x<0时,-x>0，所以f(-x)>0
而偶函数，所以f(x)=f(-x)>0
所以f(x)>0

Answer 2

解不等式可得（2^x-1）（2^x-4）>0,所以x<0或x>2
f(x)=(x-1)^2+1,图像为下凸的二次曲线，所以只有最小值，f（0）=f（2）=2，所以值域为（2，+无穷）