Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A 1 B 1 C，连

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A 1 B 1 C，连接BB 1 ，设CB 1 交AB于D，A l B 1 分别交AB、AC于E、F。 （1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A 1 B 1 C全等除外）；（2）当△BB 1 D是等腰三角形时，求α；（3）当α=60°时，求BD的长。

Answer 1

解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA 1 F或△AEF≌△B 1 ED或△ACD≌△B 1 CF等 以证△CBD≌△CA 1 F为例 证明：∵∠ACB 1 +∠A 1 CF=∠ACB 1 +∠BCD=90° ∴∠A 1 CF=∠BCD ∵A 1 C=BC ∴∠A 1 =∠CBD=45° ∴△CBD≌△CA 1 F（答案不唯一）； （2）在△CBB 1 中 ∵CB=CB 1 ∴∠CBB 1 =∠CB 1 B= （180°-α） 又△ABC是等腰直角三角形 ∴∠ABC=45° ①若B 1 B=B 1 D，则∠B 1 DB=∠B 1 BD ∵∠B 1 DB=45°+α ∠B 1 BD=∠CBB 1 -45°= （180°-α）-45°=45°- ∴45°+α=45°- ∴α=0°（舍去）； ②∵∠BB 1 C=∠B 1 BC＞∠B 1 BD ∴BD＞B 1 D，即BD≠B 1 D ③若BB 1 =BD，则∠BDB 1 =∠BB 1 D，即45°+α= （180°-α），α=30° 由①②③可知，当△BB 1 D为等腰三角形时，α=30°； （3）作DG⊥BC于G，设CG=x 在Rt△CDG中，∠DCG=α=60° ∴DG=xtan60°= x Rt△DGB中，∠DBG=45°，∴BG=GD= x ∵AC=BC=1，∴x+ x=1 x= ∴DB= 。