Question

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式： x 1+x ＜ln(x+1)＜x ；（Ⅲ）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：- 1 a ＜g(a)＜0 ．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0， ∴函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且 f ′ (x)= ax-1 x+1 ，a＞0 ， 由f′（x）=0，得x= 1 a ． 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：  x  （-1， 1 a ）   1 a  （ 1 a ，+∞）  f′（x） -  0 +  f（x） ↓  极小值 ↑ 由上表知，当x∈（-1， 1 a ）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-1， 1 a ）内单调递减； 当x∈（ 1 a ，+∞ ）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（ 1 a ，+∞ ）内单调递增． ∴函数f（x）的增区间是（ 1 a ，+∞ ），减区间是（-1， 1 a ）． （Ⅱ）证明：设?（x）=ln（x+1）- x 1+x ，x∈[0，+∞）， 对?（x）求导，得?′（x）= 1 x+1 - 1 (1+x ) 2 = x (1+x ) 2 ． 当x≥0时，?′（x）≥0，所以?（x）在[0，+∞）内是增函数． ∴?（x）＞?（0）=0，即ln（x+1）- x 1+x ＞0， ∴ x 1+x ＜ln(x+1) ． 同理可证ln（x+1）＜x， ∴ x 1+x ＜ln(x+1)＜x ． （Ⅲ）由（Ⅰ）知， g(a)=f( 1 a )=1-(a+1)?ln( 1 a +1) ， 将 x= 1 a 代入 x 1+x ＜ln(x+1)＜x ， 得 1 a+1 ＜ln( 1 a +1)＜ 1 a ， 即1 ＜(a+1)ln( 1 a +1)＜1+ 1 a ， ∴ - 1 a ＜1-(a+1)ln( 1 a +1)＜0 ， 故- 1 a ＜g(a)＜0 ．