Question

已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）

已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥ 平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正切值；（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、OE． ∴FO ∥ DC，且FO= 1 2 DC ∴FO ∥ AE 又E是AB的中点．且AB=DC． ∴FO=AE． ∴四边形AEOF是平行四边形． ∴AF ∥ OE又OE?平面PEC，AF?平面PEC ∴AF ∥ 平面PEC （Ⅱ）连接AC ∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角 在Rt△PAC中， tan∠PCA= PA AC = 1 5 = 5 5 即直线PC与平面ABCD所成的角正切为 5 5 （Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM， 由三垂线定理，得PM⊥CE ∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角 由△AME ∽ △CBE，可得 AM= 2 2 ， ∴ tan∠PMA= PA AM = 2 ∴二面角P一EC一D的正切为 2