如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB=BC=AC，点E、F分别是PC、PA的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥平面
如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB=BC=AC，点E、F分别是PC、PA的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角A-EB-F的大小．...
如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB=BC=AC，点E、F分别是PC、PA的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角A-EB-F的大小．
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方法（一）（Ⅰ）证明：由已知可得△PBC为等腰直角三角形，则BE⊥PC． （1分）
由PB⊥平面ABC，AC?平面ABC，则PB⊥AC．
又AC⊥BC，BC∩PB=B，
则AC⊥平面PBC，由PC?平面PBC，得AC⊥PC． （3分）
由中位线定理得，EF∥CA，于是EF⊥PC，又BE∩EF=E，
所以PC⊥平面BEF． （6分）
（Ⅱ）解：由第（Ⅰ）问，已证明AC⊥平面PBC，又BE?平面PBC，
则AC⊥BE．已证明BE⊥PC，又PC∩AC=C，则BE⊥平面PAC．
因为EF?平面PAC，AE?平面PAC，所以BE⊥EF，BE⊥AE．
由二面角的定义，得∠AEF为二面角A-EB-F的平面角．（9分）
设PB=BC=AC=2，则PE＝EC＝
| 2 |
| 2 |
在Rt△PAB中，PB=2，AB＝2
| 2 |
| 3 |
在Rt△ACE中，AC=2，EC＝
| 2 |
| 6 |
在△AEF中，由余弦定理得，cos∠AEF＝
| EF2+AE2?AF2 |
| 2?EF?AE |
| 1+6?3 | ||
2?1?
|
