Question

（2012?枣庄）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．（1）求证：AB=BC；（2）

（2012?枣庄）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．（1）求证：AB=BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．

Answer 1

证明：（1）连接AC．
∵∠ABC=90°，
∴AB²+BC²=AC²．
∵CD⊥AD，
∴AD²+CD²=AC²．
∵AD²+CD²=2AB²，
∴AB²+BC²=2AB²，
∴BC²=AB²，
∵AB＞0，BC＞0，
∴AB=BC．

（2）过C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中
∴

∠AEB＝∠BFC ∠BAE＝∠CBF AB＝BC

，
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE=BF．
∴BE=BF+EF=AE+CD．