Question

（2003?淮安）如图，矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0）、（0，5）．（1）

（2003?淮安）如图，矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0）、（0，5）．（1）直接写出B点坐标；（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把矩形OABC的周长分为1：3两部分，求直线CD的解析式；（3）在（2）的条件下，试问在坐标轴上是否存在点E，使以C、D、E为顶点的三角形与以B、C、D为顶点的三角形相似？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）B点的坐标是（3，5）；

（2）设直线与AB的交点是D．
设AD=x，则[3+（5-x）]：（8+x）=1：3，解得x=4，
因而D的坐标是（3，4）．
设CD的解析式是y=kx+b，根据题意得到

b＝5 3k+b＝4

，解得

b＝5 k＝? 1 3

，
则函数的解析式是y=-

1

3

x+5．

（3）①当点E在y轴上，且△BCD∽△DEC时，
∠CDE=∠B=90°，
则

BD

DC

=

CD

EC

，即

1

10

=

10

CE

，
解得CE=10．因而OE=5，则E的坐标是（0，-5）．
②当点E在y轴上，且△BCD∽△EDC时，∠CED=∠B=90°，
则

BD

EC

＝

CD

DC

=1，
∴BD=EC=1，
∴E的坐标是（0，4）．
③当E在x轴上时，C、D到x轴的距离都大与CD的长，则CD不可能是斜边，
当C是直角顶点时，过C且垂直于CD的直线的解析式是：y=3x+5，与x轴的交点坐标是：E（-

5

3

，0），则EC=

10 3

3

，
∴

EC

BC

=

CD

BD

，则△ECD∽△CBD；
当D是直角顶点时，过D且垂直于CD的直线的解析式是：y=3x-5，与x轴的交点坐标是E（

5

3

，0），
则ED=

20

3

，△ECD和△CBD不相似．
∴点E的坐标为（0，-5）或（0，4）或（-

5

3

，0）．