Question

如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点

如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2?2mx+n2?mn+54m2＝0的两个实数根，求证：AM=AN；（2）若AN=158，DN=98，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：△＝(?2m)2?4(n2?mn+

5

4

m2)＝?(m?2n)2≥0
∴（m-2n）²≤0
∴m-2n=0
∴△=0
∴一元二次方程x2?2mx+n2?mn+

5

4

m2＝0
有两个相等的实数根
∴AM=AN；

（2）∵∠BAC=90°，AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠DAC=∠DBA
∴△ADC∽△BDA
∴

AD

BD

＝

DC

AD

∴AD²=BD?DC
∵CF⊥BE
∴∠FCB+∠EBD=90°
∵∠E+∠EBD=90°
∴∠E=∠FCB
∵∠NDC=∠EDB=90°
∴△EBD∽△CND
∴

ED

CD

＝

BD

DN

∴BD?DC=DN?ED
∴AD²=DN?ED
∵AN=

15

8

，DN=

9

8

∴AD=DN+AN=3
∴3²=

9

8

DE
∴DE=8．