Question

已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），点P（m，n）是抛物线y=14x2+1上的一个动点．（1）如

已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），点P（m，n）是抛物线y=14x2+1上的一个动点．（1）如图1，过动点P作PB⊥x轴，垂足为B，连接PA，请通过测量或计算，比较PA与PB的大小关系：PA______PB（直接填写“＞”“＜”或“=”，不需解题过程）；（2）请利用（1）的结论解决下列问题：①如图2，设C的坐标为（2，5），连接PC，AP+PC是否存在最小值？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，简单说明理由；②如图3，过动点P和原点O作直线交抛物线于另一点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．

Answer 1

解答：解：（1）如图，∵点A的坐标为（0，2），点P（m，n），
∴AP²=m²+（n-2）²，①
∵点P（m，n）是抛物线y=

1

4

x2+1上的一个动点，
∴n=

1

4

m²+1，
∴m²=4n-4，②
由①②知，AP=n．
又∵PB⊥x轴，
∴PB=n，
∴PA=PB．
故填：=；

（2）①过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，
所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，
此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，
所以点P的坐标为（2，2）；

②当点P在第一象限时，如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，
由（1）得：DA=DE，PA=PF
∵PA=2DA，∴PF=2DE，
∵△ODE∽△OPF，∴

OE

OF

=

DE

PF

=

1

2

设P（m，

1

4

m2+1），则D（

1

2

m，

1

8

m2+

1

2

）
∴

1

8

m2+

1

2

=

1

4

(

1

2

m)2+1，解得m=±2

2

∵点D在抛物线y=

1

4

x2+1上，（负舍去）
此时P（2

2

，3），直线OP的解析式为y=

3 2

4

x；
当P在第二象限时，
同理可求得直线OP的解析式为y=-

3 2

4

x．
综上，所求直线OP的解析式为y=

3 2

4

x或y=-

3 2

4

x．