Question

（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的

（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数。（2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由。（3）如果把第（1）题中“∠BAC=90 。 ”的条件改为“∠BAC>90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°　                 ∴∠B=∠ACB=45° 　　                  ∵BD=BA 　　                 ∴∠BAD=∠BDA= （180°-∠B）=67.5° 　　                 ∵CE=CA 　　                 ∴∠CAE=∠E= ∠ACB=22.5°                  在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°                 ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°         （2）不改变                   设∠CAE=x                  ∵CA=CE 　　                 ∴∠E=∠CAE=x 　　                 ∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x 　                  在△ABC中，∠BAC=90° 　　                  ∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x 　　                  ∵BD=BA                ∴∠BAD=∠BDA= （180°-∠B）=x+45°               在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E 　　　                                            =180°-(90°-2x）-x=90°+x 　　                 ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD 　　　　　　                              =（90°+x）-（x+45°）                              =45° （3）∠DAE= ∠BAC         理由：设∠CAE=x，∠BAD=y 　　　                    则∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x 　　                    ∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x 　　                    ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x 　　                        ∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x                    ∴∠DAE= ∠BAC