Question

探究函数f（x）=x+ 4 x x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下，请观察表中y

探究函数f（x）=x+ 4 x x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题： x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 … y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.102 4.24 4.3 5 5.8 7.57 … （1）若当x＞0时，函数f（x）=x+ 4 x 时，在区间（0，2）上递减，则在______上递增；（2）当x=______时，f（x）=x+ 4 x ，x＞0的最小值为______；（3）试用定义证明f（x）=x+ 4 x ，x＞0在区间上（0，2）递减；（4）函数f（x）=x+ 4 x ，x＜0有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？解题说明：（1）（2）两题的结果直接填写在答题卷中横线上；（4）题直接回答，不需证明．

Answer 1

（1）若函数f（x）=x+ 4 x   x∈（0，+∞）时，在区间（0，2）上递减，则在（2，+∞） 上递增； （2）当x=2 时，f（x）=x+ 4 x   x∈（0，+∞）的最小值为4；---（4分） （3）设任意的x 1 ，x 2 ∈（0，2），且x 1 ＜x 2 f( x 1 )-f( x 2 )= x 1 + 4 x 1 -( x 2 + 4 x 2 ) = ( x 1 - x 2 )( x 1 x 2 -4 x 1 x 2 ) -----（10分） ∵x 1 ，x 2 ∈（0，2），且x 1 ＜x 2 ，∴0＜x 1 x 2 ＜4，x 1 -x 2 ＜0，∴x 1 x 2 -4＜0 ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0f（x 1 ）＞f（x 2 ），即 ∴f（x）=x+ 4 x   在区间（0，2）上单调递减---------------（12分） （4）函数f（x）=x+ 4 x ，x＜0有最大值，当x=-2时，最大值是-4----（14分）