Question

设函数f（x）=a2lnx-x2+ax，a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）求满足条件的所有实数a，使e-1≤f（x）

设函数f（x）=a2lnx-x2+ax，a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）求满足条件的所有实数a，使e-1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．

Answer 1

（1）∵f（x）=a²lnx-x²+ax，a＞0．
∴函数的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

a2

x

-2x+a=

(a?x)(2x+a)

x

由于a＞0，
即f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．
（2）由题得，f（1）=a-1≥e-1，即a≥e，
由（1）知f（x）在[1，e]内单调递增
要使e-1≤f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立
只要

f(1)＝a?1≥e?1 f(e)＝a2?e2+ae≤e2

解得a=e．