Question

已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF=120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F．（1）如图（1），求

已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF=120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F．（1）如图（1），求证：DE=DF；（2）如图（2），若BE=3AE，求证：CF=14BC．（3）如图（3），若BE=13AE，则CF=______BC；在图（1）中，若BE=4AE，则CF=______BC．

Answer 1

证明：
（1）连接BD．
∵∠EDF=120°，∠B=60°，
∴BEFD四点共圆；
又∵D为AC中点，
∴在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角平分线，
∴DE和DF在BEFD四点所构成的圆内，其圆周角相等，
∴DE=DF；


（2）连接BD．
由（1）知，四边形BEFD是圆内接四边形，
又∵在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角平分线，
∴BD也是∠EDF的角平分线，
∴∠DEB=180°-

1

2

×60°?

1

2

×120°=90°，
∴△BED是直角三角形；
同理，得△BFD是直角三角形；
在Rt△BED和Rt△BFD中，
BD=DB（公共边），DE=DF（由上题知），
∴Rt△BED≌Rt△BFD（HL），
∴BE=BF（对应边相等）；
又∵AB=BC，BE=3AE
∴CF=

1

4

BC；

（3）过点D作DH∥BC，交AB于点H．
∴∠CDH+∠BCA=180°，
∴∠CDH=120°；
又∵D为AC中点，
∴DH=

1

2

BC=DC；
∵∠HDE+∠EDC=120°，∠FDC+∠EDC=120°，
∴∠HDE=∠FDC；
又由ED=FD，
∴△DHE≌△DCF（SAS）；
∴HE=FC；
①∵BE=

1

3

AE，AB=BC，
∴BE=

1

4

BC，
∵AH=

1

2

BC，
∴HE=BC-AH-BE=

1

4

BC，
∴CF＝

1

4

BC；
②∵BE=4AE，
∴AE=

1

5

BC，
如图（1），连接BD．
在Rt△BED和Rt△BFD中，

ED＝FD BD＝BD

，
则Rt△BED≌Rt△BFD，
∴BE=BF，
∴FC=BC-BF=AB-BE=AE=

1

5

BC；
故答案分别是：

1

4

，

1

5

．