Question

函数y=log2x+logx（2x）的值域是______

函数y=log2x+logx（2x）的值域是______．

Answer 1

∵y=log₂x+log_x（2x）=log₂x+log_xx+log_x2
=log₂x+log_x2+1=log2x+

1

log2x

+1
令t=log₂x，∵x＞0且x≠1，∴t＞0或t＜0．
∴t+

1

t

≥2，或t+

1

t

≤?2
∴y=t+

1

t

+1≤-1，或y≥3，
故答案为：（-∞，-1]∪[3，+∞）．

Answer 2

若log2(x)<0
则logx(2)<0
令a=-log2(x)
则a>0
且y=-a-1/a+1
=-(a+1/a)+1
a>0,a+1/a>=2
-a-1/a<=-2
所以y<=-2+1=-1

Answer 3

y=log2(x)+logx(2x)=log2(x)+logx(2)+logx(x)=log2(x)+logx(2)+1
log2(x)与logx(2)互为倒数，故值域为(-∞,-1]∪[3,+∞)

Answer 4

y=log₂x+logx(2x)
定义域：x>0且x≠1
y=log₂x+logx(2)+logx(x)
=lnx/ln2+ln2/lnx+1
=(ln²x+ln²2)/ln2·lnx+1
y'=[2lnx·(1/x)·ln2·lnx-(ln2/x)(ln²x+ln²2)]/(ln2·lnx)²
=(ln2ln²x-ln³2)/x(ln2·lnx)²
驻点：x₁=1/2，x₂=2
0<x<1/2,y'>0,y单调递增
1/2<x<1∪1<x<2,y'<0,y单调递减
x>2,y'>0,y单调递增
∴y(1/2)是极大值=-1，y(2)是极小值=3。
x→0，x→1-，y→-∞
x→1+,x→+∞，y→+∞
∴x∈(0,1),y∈(-∞,-1]
x∈(1,+∞),y∈[3,+∞)
∴y∈(1,+∞)∪[3,+∞)