Question

已知函数f（x）=4x+ax（a＞0，a∈R），（1）判断并证明f（x）在（0，a2）上的单调性；（2）讨论函数g（x

已知函数f（x）=4x+ax（a＞0，a∈R），（1）判断并证明f（x）在（0，a2）上的单调性；（2）讨论函数g（x）=4x+ax-1（a＞0）在（0，+∞）上的零点的个数．

Answer 1

（1）f（x）在(0，

a

2

)上单调递减
证：任取x1，x2∈(0，

a

2

)，设x₁＜x₂，则f(x1)?f(x2)＝4x1+

a

x1

?4x2?

a

x2

=4(x1?x2)+a?

x2?x1

x1x2

=(x1?x2)(4?

a

x1x2

)
∵x1＜

a

2

，x2＜

a

2

∴x1x2＜ a 4

，
∴

a

x1x2

＞4.
所以f（x）为减函数．
（2）由（1）得g(x)在(0，

a

2

)上单调递减，同理可得，g(x)在[

a

2

，+∞]上单调递增．
故g（x）的最小值为g(

a

2

)＝4

a

?1，
∴当4

a

?1＞0，即a＞

1

16

时，无零点；
当a＝

1

16

时，有1个零点； 
当0＜a＜

1

16

时，有2个零点．