Question

如何证明偏导数存在

Answer 1

这类问题一般都是证明在某点处偏导数存在，注意这时切记不能使用求导公式，以一元函数为例，这是因为用求导公式计算出来的导函数f'(x)往往含有间断点，在间断点x0处f'(x)无意义，但这不意味着f'(x0)一定不存在，例如f(x)=(x^2)sin(1/x) x≠0
=0 x=0
可以验证在可去间断点x=0处，导函数f'(x)无意义，但f'(0)=0存在。
正确方法是用偏导数的定义来验证，偏导数是通过极限来定义的，按定义写出某点(x0,y0)处偏导数的极限表达式（以对x的偏导数为例）lim[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)（x趋于x0），然后用极限的相关知识来考察这个极限是否存在，这极限是否存在和该点处偏导数是否存在是一致的，因此证明偏导数存在的任务就转化为证明极限存在，这可以通过以下两种途径解：1，根据极限运算法则求出该极限，只要能求出极限的具体值，就等于证明了极限存在，而不用再费事去证明了；2，如果极限不容易求出，可以考虑用极限存在的准则去证明（例如夹逼准则）极限存在。（如果证明偏导数不存在则用极限的相关理论证明该极限不存在即可）
多说一点，在确定某点处偏导数存在的基础上，往往还要讨论偏导数在该点是否连续，这时才是用求导公式的时候，用求导公式计算出导函数f'x(x,y)，这是一个关于x和y的二元函数，求(x0,y0)处二元函数f'x(x,y)的极限，如果这个极限存在且等于该点处的偏导数值，则偏导数连续，否则不连续。