Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD= 1 2 AB，点E、F分别为边 BC、AC的中点．

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD= 1 2 AB，点E、F分别为边 BC、AC的中点．（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG ∥ BC，交DF于点G，求证：AG=DG．

Answer 1

证明：（1）如图，过点F作FH ∥ BC，交AB于点H， ∵FH ∥ BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点， ∴AH=BH= 1 2 AB，EF ∥ AB． ∵AD= 1 2 AB， ∴AD=AH． ∵CA⊥AB， ∴CA是DH的中垂线． ∴DF=FH． ∵FH ∥ BC，EF ∥ AB， ∴四边形HFEB是平行四边形． ∴FH=BE． ∴BE=FD． （2）由（1）知BE=FD， 又∵EF ∥ AD， ∴四边形DBEF是等腰梯形． ∴∠B=∠D． ∵AG ∥ BC，∠B=∠DAG， ∴∠D=∠DAG． ∴AG=DG．