Question

已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且∠A=θ，若 cosB sinC AB + cosC

已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且∠A=θ，若 cosB sinC AB + cosC sinB AC =2m AO ，则m=（　　） A．sinθ B．cosθ C．tanθ D．不能确定

Answer 1

设外接圆半径为R，则： cosB sinC AB + cosC sinB AC = 2m AO  可化为： cosB sinC ?( OB - OA )+ cosC sinB  ?( OC - OA ) = 2m? AO   （*）． 易知 OA 与 OB 的夹角为2∠C， OC 与 OA 的夹角为2∠B， OA 与 OA 的夹角为0， | OA |=| OB |=| OC |=R． 则对（*）式左右分别与 OA 作数量积，可得： cosB sinC ? OA ? OB - cosB sinC ? OA 2 + cosC sinB  ? OC ? OA - cosC sinB   ? OA 2 =-2m OA 2 ． 即 cosB sinC ?  R 2  （cos2C-1）+ cosC sinB ?R 2 （cos2B-1）=-2mR 2 ． ∴-2sinCcosB+（-2sinBcosC）=-2m，∴sinCcosB+sinBcosC=m，即 sin（B+C）=m． 因为sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）且∠A=θ， 所以，m=sinA=sinθ， 故选A．