Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）。 ① ② （1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长。

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°， AP=1，CD=AB=2，则PB= ， ∴∠ABP+∠APB=90°， 又∵∠BPC=90°， ∴∠APB+∠DPC=90°， ∴∠ABP=∠DPC， ∴△APB∽△DCP， ∴ 即 ， ∴PC=2 ； （2）tan∠PEF的值不变； 理由：过F作FG⊥AD，垂足为G，则四边形ABFG是矩形， ∴∠A=∠PFG=90°，GF=AB=2， ∴∠AEP+∠APE=90°， 又∵∠EPF=90°， ∴∠APE+∠GPF=90°， ∴∠AEP=∠GPF， ∴△APE∽△GPF， ∴ ， ∴Rt△EPF中，tan∠PEF= ， ∴tan∠PEF的值不变； （3）线段EF的中点经过的路线长为 。